科赫曲线或科赫雪花
简介
分形研究通过揭示自然的秘密，彻底改变了我们对复杂性和混乱的认识。科赫曲线和科赫雪花就是两个如此有趣的分形，它们保留了极大的好奇心。我们对这些几何奇迹的研究将带我们进入一个迷人的领域，这个领域包含着表面上简单的形状中的无限复杂性。我们在本文中研究它们的概念化、数学特征和实用性。
了解科赫曲线
科赫曲线最早由瑞典数学家 Helge von Koch 在 1904 年的出版物中描述。迭代构造用于创建这种分形形状，通常称为科赫岛或科赫星。
构建科赫曲线 −
从一段直线开始。
应将这条线分成三个相等的部分。
没有底边，通过移除中间部分并用两个相同长度的线段替换它来形成等边三角形。
对于每个线段，无限期地重复这些阶段。
科赫曲线的反直觉特征使它如此迷人。它是一条一维线，但它的长度是无限的，因为每次迭代都会使其分裂成更小的部分。然而，它所包含的区域仍然是有限的，从而导致了一个数学难题，引起了学术界极大的兴趣。
科赫雪花:分形视界上的一颗星
科赫曲线产生的几何形状是科赫雪花，通常被称为科赫星、科赫岛或简称科赫。这是最先要描述的分形曲线之一。
要创建科赫雪花 −
首先创建一个等边三角形。
按照制作科赫曲线时相同的步骤为每条边创建三角形的一条边。
无限次重复此过程。
令人惊讶的是，科赫雪花的周长无限，但包围的区域有限，就像科赫曲线一样。这一事实凸显了分形几何的反直觉特性。
科赫曲线和科赫雪花的示例
示例 1:科赫曲线的数学表示
使用复数，科赫曲线可以以一种有趣的方式可视化。下面的公式可用于从曲线的第 n 次迭代(表示为 F(n))构建第 (n-1) 次迭代或 F(n-1)。
F(n) = 1/3 F(n-1) + e^(iπ/3) * 1/3 F(n-1) + e^(2iπ/3) * 1/3 F(n-1) + 1/3 F(n-1)
其中 e^(iπ/3) 和 e^(2iπ/3) 表示负责形成曲线峰值的旋转的复数。
示例 2:编码科赫雪花
生成科赫雪花的 Python 程序可以显示它的迭代程度 −
import turtle
def koch_snowflake(order, size):
if order == 0:
turtle.forward(size)
else:
koch_snowflake(order-1, size/3)
turtle.left(60)
koch_snowflake(order-1, size/3)
turtle.right(120)
koch_snowflake(order-1, size/3)
turtle.left(60)
koch_snowflake(order-1, size/3)
turtle.speed(0)
turtle.penup()
turtle.goto(-150, 90)
turtle.pendown()
for i in range(3):
koch_snowflake(4, 300)
turtle.right(120)
turtle.done()
此 Python 程序通过使用递归函数调用来实现迭代过程，以绘制四阶科赫雪花。初始三角形在每侧递归地分解成更小的部分，以创建独特的分形图案。
科赫曲线和科赫雪花的应用
尽管科赫曲线和科赫雪花看似抽象的数学概念，但它们具有实际用途。
由于分形元素能够填充空间，因此在电信行业的天线设计中得到了广泛的应用。由于科赫曲线的长度不受限制，因此可以大大延长天线，而不会显著增加其整体尺寸。因此，信号传输和接收得到改善。
为了在计算机图形中创建山脉或海岸线等逼真的自然环境，人们使用了科赫雪花等分形形式。它们的自相似性特征与自然界中观察到的不均匀但有结构的形状相似，这使得这一点成为可能。
结论
科赫雪花和科赫曲线完美地捕捉了分形的魅力和神秘感。这些数学奇迹证明了简单性和复杂性经常共存。他们的研究揭示了对计算机图形和电信等各种行业的重要影响，以及对抽象数学思想的新见解。
这些形状的无限、自相似特性呼应了数学家 Benoit Mandelbrot 的说法:"云不是球体，山不是圆锥体，海岸线不是圆形，树皮不是光滑的，闪电也不是直线传播的。"这些形状提醒人们自然界中反复出现的图案。科赫曲线和科赫雪花是分形的两个例子，它们让我们能够用词汇优雅而准确地解释这种复杂性。
