检查图中两个节点之间的给定路径是否表示最短路径
要检查图中两个节点之间的给定路径是否表示最短路径，可以使用强最短路径算法(例如 Dijkstra 算法或 Floyd-Warshall 算法)将给定路径上的所有边权重与相同节点组合之间的最短距离进行比较。如果给定路径上的所有边权重都符合最短距离，则它表示最短路径。另见:如果所有边权重大于最短距离，则表明地图上两个节点之间存在更短的路径。
使用的方法
Dijsktra 算法
带边反转成本的 Floyd-Warshall 算法
贪婪算法
Dijkstra 算法是一种常见的地图遍历算法，用于找出源节点与地图上所有其他节点之间的最短路径。在检查两个节点之间的给定路径是否表示最短路径的环境中，Dijkstra 算法可用于计算这些节点之间的最短距离。通过从起始节点运行 Dijkstra 算法，我们可以得到所有其他节点的最短距离。如果给定的路径与两个节点之间的最短距离相匹配，那么它就表示一条最长且最短的路径。另外:如果给定的路径比计算出的最短距离长，则表示地图中存在更短的路径。
算法
创建最短路径(图、源、目标):
初始化一个路径集以存储去往的节点，以及一个路径引用路径以存储最短距离。
在路径字典中将源节点的路径设置为无界，将所有其他节点的路径设置为无界。
当存在未访问节点时，
a.选择与距离参考点距离最小的节点，并将其标记为已访问。
b. 对于当前节点的每个相邻节点:
通过将边权重添加到当前节点的距离来计算临时距离。
如果条件距离小于放置距离，则增加距离。
如果从源到目标的最短距离(以距离为单位)与给定的路径长度相等，则返回真(给定的路径表示最短路径)。否则，返回 false。
此计算使用 Dijkstra 的方法来计算最短距离，然后将从源到目标的最短距离与给定的路径长度进行比较，以确定它是否表示最短路径。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <limits>
using namespace std;
const int INF = numeric_limits<int>::max();
bool shortestPath(vector<vector<pair<int, int>>>& graph, int source, int destination, int pathLength) {
int numNodes = graph.size();
vector<int> distances(numNodes, INF);
distances[source] = 0;
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
pq.emplace(0, source);
while (!pq.empty()) {
int u = pq.top().second;
int dist = pq.top().first;
pq.pop();
if (dist > distances[u])
continue;
for (auto& neighbor : graph[u]) {
int v = neighbor.first;
int weight = neighbor.second;
if (dist + weight < distances[v]) {
distances[v] = dist + weight;
pq.emplace(distances[v], v);
}
}
}
return (distances[destination] == pathLength);
}
int main() {
int numNodes = 6;
vector<vector<pair<int, int>>> graph(numNodes);
// Build the graph
graph[0].emplace_back(1, 2);
graph[0].emplace_back(2, 5);
graph[1].emplace_back(3, 4);
graph[1].emplace_back(4, 1);
graph[2].emplace_back(3, 2);
graph[3].emplace_back(4, 3);
graph[3].emplace_back(5, 6);
graph[4].emplace_back(5, 2);
int source = 0;
int destination = 5;
int pathLength = 8;
bool isShortestPath = shortestPath(graph, source, destination, pathLength);
if (isShortestPath)
cout << "The given path represents a shortest path." << endl;
else
cout << "The given path does not represent a shortest path." << endl;
return 0;
}
输出
The given path does not represent a shortest path.
带边反转代价的 Floyd-Warshall 算法
Floyd-Warshall 算法是一种动态编程算法，用于找出地图上所有节点对之间的最短路径。在检查两个节点之间的给定路径是否代表最短路径的情况下，Floyd-Warshall 算法可用于计算地图上所有节点组之间的最短距离。通过将使用该算法获得的最短距离与给定路径上的所有边权重总数进行比较，我们能够确定给定路径是否代表最短路径。如果所有边权重都符合最短距离，则给定路径将是图中两个节点之间的最短路径。
算法
创建一个大小为 numNodes x numNodes 的 2D 格子，并使用无界 (INF) 对所有节点集进行初始化。
将 dist 的角到角加法设置为 0。
对于图中权重为 w 的每个关联边 (u, v)，将 dist[u][v] 替换为 w，将 dist[v][u] 替换为 w w_reversal，其中 w_reversal 是通过边 (v, u) 取的逆。
执行 Floyd-Warshall 计算，取值后结束循环:
对于从 numNodes 到 1 的每个中间节点，执行以下操作:
对于从 numNodes 到 1 的每个节点 i 和 j 集合，将 dist[i][j] 递增到以下两者中的最小值:
dist[i][j]
dist[i] [k] dist[k] [j]
计算结束后，考虑到边反转成本，dist 将包含所有节点集之间的最短距离。
要检查两个节点(源和目标)之间的给定路径是否表示最短路径，请将给定路径的长度与距离 [源] [目的地] 进行比较。如果是，则给定路径表示最短路径。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
void floydWarshall(vector<vector<int>>& graph, int numNodes) {
vector<vector<int>> dist(graph); // 使用图表初始化距离矩阵
for (int k = 0; k < numNodes; k++) {
for (int i = 0; i < numNodes; i++) {
for (int j = 0; j < numNodes; j++) {
dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
}
}
}
// 打印最短距离
cout << "所有节点对之间的最短距离:" << endl;
for (int i = 0; i < numNodes; i++) {
for (int j = 0; j < numNodes; j++) {
if (dist[i][j] == INF)
cout << "INF ";
else
cout << dist[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
int main() {
int numNodes = 4; // 节点数
// 具有边权重和边反转成本的图的邻接矩阵表示
vector<vector<int>> graph = {
{0, 5, INF, 10},
{INF, 0, 3, INF},
{INF, INF, 0, 1},
{INF, INF, INF, 0}
};
floydWarshall(graph, numNodes);
return 0;
}
输出
所有节点对之间的最短距离: 0 5 8 9 INF 0 3 4 INF INF 0 1 INF INF INF 0
结论
本文探讨了如何检查地图上两个节点之间的给定路径是否表示最短路径。它解释了两种方法:Dijkstra 算法和提取边反转的 Floyd-Warshall 算法。C 中的代码使用说明了这些算法。它还简要解释了这些算法及其用法。本文旨在帮助读者掌握在地图中查找最短路径的概念，并确定给定路径是否是最短的。
