通过操作位将数字加 1
位操作使用位运算符(例如 AND(&)、OR(|)、NOT(~)、XOR(^)、左移(<<) 和右移(>>))对位流进行逻辑运算，以获得所需结果。使用位运算符的优势在于我们可以操作单个位，而且它们比其他运算符更快。
问题描述
给定一个数字。仅使用位运算符将该数字加 1 或加 1。 (请勿使用诸如"+"、"-"、"*"或"/"之类的算术运算符)
方法 1:使用二进制补码/非运算符
按位补码/二进制补码使用 NOT(~) 运算符实现。
对于数字 n，n 的按位补码，即 ~n = -(n+1)。因此，我们只需取 ~n 的值并忽略符号即可得到 n+1。这可以使用 abs() 函数来实现，该函数返回变量的值并忽略符号。
伪代码
procedure inc (num) num = |~n| // | | represents the abs() function end procedure
示例
在下面的程序中，我们使用按位补码运算符和 absolute 函数计算数字加 1 的增量。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 用于计算输入值增加 1 的函数
int inc(int num){
// 使用 abs() 函数获取通过 ~ 运算符得到的值
num = abs(~num);
return num;
}
int main(){
int input = 7;
cout << input << " + 1 using bit manipulation = " << inc(input);
return 0;
}
输出
7 + 1 using bit manipulation = 8
时间复杂度 − O(1)，因为没有实现循环。
空间复杂度 − O(1)，因为没有使用额外的空间。
方法 2
以下面几个二进制加法的例子为例:
从以上例子可以看出，在二进制加法 1 时，数字右边第一个未设置的位左侧的二进制数字保持不变。但是，右边第一个未设置的位会被设置，并且右侧的所有位都会被切换，即设置的位会被设置，未设置的位会被设置(0 转换为 1，1 转换为0)。
因此，我们可以将问题分解为两个基本部分:
设置右侧第一个未设置的位。
切换右侧的所有位。
递归方法伪代码
procedure inc (num)
if num & 1 == 0
ans = num | 1
else
ans = inc (num >> 1) << 1
end if
end procedure
示例
在下面的程序中，我们基于上面解释的思路，使用递归将数字加 1。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 用于计算输入增量的函数
int inc(int num){
// 检查 LSB 是否已设置。如果未设置，则进入 if 循环，否则进入 else 循环
if ((num & 1) == 0) {
// LSB 已设置
return num | 1;
}
else {
// 将数字右移，并再次调用该函数
// 获取被调用函数的返回值后，将数字左移
return inc(num >> 1) << 1;
}
}
int main(){
int input = 14;
cout << input << " + 1 using bit manipulation = " << inc(input);
return 0;
}
输出
14 + 1 using bit manipulation = 15
时间复杂度 − O(k)，其中 k 是从右侧算起第一个未设置位的位置。
空间复杂度 − O(k)，因为使用了递归堆栈空间。
迭代方法伪代码
procedure inc (num)
m = 1
while num & m
num = num & (~m)
m = m << 1
end while
num = num | m
end procedure
示例
在下面的程序中，我们使用一个掩码数，该掩码数在每次迭代中都会发生变化，直到我们找到右侧未设置的位。一旦找到该位，就设置未设置的位，并切换右侧的所有其他位。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 用于查找输入增量的函数
int inc(int num){
// 声明一个值为 1 的掩码，用于查找右侧第一个未设置的位
int m = 1;
// 检查 LSB 是否已设置。如果已设置，则进入循环并重复，直到找到未设置的位
while (num & m) {
num &= ~m;
// 每次迭代时都会更改掩码，以在循环结束时设置未设置位和切换位
m <<= 1;
}
// 用于设置未设置位并切换右侧所有位的掩码
num |= m;
return num;
}
int main(){
int input = 14;
cout << input << " + 1 using bit manipulation = " << inc(input);
return 0;
}
输出
14 + 1 using bit manipulation = 15
时间复杂度 − O(k)，其中 k 表示从右侧算起第一个未设置的位的位置。
空间复杂度 − O(1)
方法 3
在此方法中，我们通过减少查找第一个未设置的位的时间来降低时间复杂度。在此方法中，我们首先找到从右侧算起第一个未设置的位，将其设置为 1，然后切换右侧的所有位。
伪代码
procedure inc (num)
pos = log2 (num & ~num)
add = 1 << pos
num = num | add
if pos != 0
toggle = (1 << pos) - 1
num = num ^ toggle
end if
ans = num
end procedure
示例
以下程序中，Log2() 运算用于查找未置位的位，左移和"或"运算用于设置该位，左移和"异或"运算用于切换位。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 用于查找输入增量的函数
int inc(int num){
// 查找从右侧开始第一个未置位的位的位置
int pos = log2(num & ~num);
// 以下两个运算合并设置未置位的位
int add = 1 << pos;
num |= add;
// 仅对第一个未置位的位不是最低有效位 (LSB) 的数字进行位切换
if (pos != 0){
// 使用左移和异或运算切换位
int toggle = (1 << pos) - 1;
num ^= toggle;
}
return num;
}
int main(){
int input = 14;
cout << input << " + 1 using bit manipulation = " << inc(input);
return 0;
}
输出
14 + 1 using bit manipulation = 15
时间复杂度 − O(1)
空间复杂度 − O(1)
结论
总而言之，对于数字加 1 的操作，我们可以使用二进制补码的概念，或者通过分析加 1 时位的性质，按照上述方法得到所需的结果。
