计算所有可用给定数字的数字形成的素数
任何大于 1 的数字如果不能写成除 1 和数字本身之外的两个较小自然数的乘积，则称为素数。例如，5 是素数，因为它的唯一乘积形式 1 5 和 5 1 都涉及 5。素数在数论中起着至关重要的作用，正如素数定理所述，该定理断言任何大于 1 的自然数要么是素数本身，要么可以表示为素数的唯一乘积。这个定理强调了素数在数学领域的重要性。
问题陈述
目标是确定利用长度为 N 的字符串 S 中的数字可以生成的不同素数的数量。
示例
输入
S = "17"
输出
3
解释
可以从 S 的数字生成的素数是
7 17 71
输入
S = "1234"
输出
15
解释
从 S 的数字可以生成的素数有
23 31 41 43 241 421 431 1243 1423 2143 2341 4231
输入
S = "5"
输出
1
解释
可从 S 的数字生成的素数有
5
解决方法
一种潜在的方法是识别可以利用给定数字中存在的数字构造的所有数字。我们遍历所有可能的数字组合，并检查每个组合是否为素数。
算法
将输入数字读取为字符串。
初始化一个大小为 10 的数字数组，以存储输入数字中每个数字的频率。对字符串中的字符执行迭代，然后更新遇到的每个数字的出现次数。
初始化一个空的无序素数集来存储唯一的素数字符串。
创建一个名为"is_prime"的函数，该函数接受整数输入"num"，如果"num"是素数，则返回 true；否则，返回 false。
如果 num 小于 2，则返回 false。
对从 2 到"num"的平方根的范围执行迭代，并验证"num"是否可以被该范围内的任何数字整除。如果找到除数，则返回 false。
如果 num 不能被范围内的任何数字整除，则返回 true。
定义一个递归函数 generate_primes，该函数以数字数组、整数索引、整数 num 和无序素数集作为输入。
如果索引等于 10，则返回。
对于 0 到 9 范围内的每个整数"i"，迭代执行以下步骤:
如果 digits[i] 等于 0，则继续迭代。
通过将 i 连接到 num 的末尾来计算新数字 new_num。
如果 new_num 为素数，则将其字符串表示添加到 primes 集合中。
减少 digits[i]。
使用数字、index+1、new_num 和 primes 作为输入，递归调用 generate_primes。
增加 digits[i]。
使用数字、0、0 和 primes 作为输入，调用 generate_primes，使用输入数字的数字生成所有可能的素数字符串。
将集合素数的大小打印为输出。
示例:C++ 程序
给定一个正整数作为输入，此程序旨在识别可以使用该数字中的数字生成的所有素数。它通过系统地遍历所有可能的数字组合并验证每个组合的素数来实现这一点。该程序提供的输出是可以使用输入数字的数字形成的不同素数的数量。
示例
#include <iostream>
#include <unordered_set>
using namespace std;
// 检查数字是否为素数的函数
bool is_prime(int num) {
// 由于 2 是最小的素数，如果数字小于 2，则返回 false
if (num < 2) {
return false;
}
// 验证数字是否能被 2 到数字平方根范围内的任何整数整除。
for (int i = 2; i*i <= num; i++) {
if (num % i == 0) {
return false;
}
}
// 如果数字不能被 2 到数字平方根范围内的任何数字整除，则它是素数
return true;
}
// 使用给定数字生成所有素数的递归函数
void generate_primes(int digits[], int index, int num, unordered_set<string>& primes) {
// 如果所有数字都已使用，则返回
if (index >= 10) {
return;
}
// 生成所有可能的数字组合
for (int i = 0; i < 10; i++) {
// 如果数字已用完，则跳过
if (digits[i] == 0) {
continue;
}
// 将当前数字附加到正在生成的数字
int new_num = num*10 + i;
// 如果新数字为素数，则将其添加到素数集合中
if (is_prime(new_num)) {
primes.insert(to_string(new_num));
}
// 减少数字数组中当前数字的计数
digits[i]--;
// 使用剩余数字和新数字递归生成所有素数
generate_primes(digits, index+1, new_num, primes);
// 增加数字数组中当前数字的出现次数，以便进行回溯。
digits[i]++;
}
}
int main() {
// 输入数字，其数字用于生成素数
string number = "17";
cout << "给定数字:" << number << endl;
// 使用数组存储输入数字中存在的每个数字的频率计数
int digits[10] = {0};
// 计算输入数字中每个数字的出现次数
for (char c : number) {
digits[c-'0']++;
}
// 设置以存储生成的唯一素数
unordered_set<string> primes;
// 使用数字生成所有素数并将它们添加到素数集合中
generate_primes(digits, 0, 0, primes);
// 打印生成的唯一素数的数量
cout << "使用给定数字的数字可以形成的唯一素数的数量:";
cout << primes.size() << endl;
return 0;
}
输出
给定数字:17 使用给定数字的数字可以形成的唯一素数的数量:3
当程序输入数字 17 时，输出将为 3，表示有三个素数可以使用数字 17 中的数字构造，它们是 7、17 和 71。
为了解释程序的工作原理，它首先初始化一个大小为 10 的数组来存储输入数字中每个数字的频率。在这种情况下，数组将是 [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]，因为数字 17 中有一个 7 和一个 1。
然后程序使用递归函数生成所有可能的数字组合，并检查每个组合是否为素数。在这种情况下，该函数将生成数字 7、17 和 71。
生成的所有数字 7、17 和 71 都是素数。因此，程序会生成一个输出，指示利用输入数字中的数字可以生成的不同素数的总数，在本例中为 3。
时间和空间复杂度分析
时间复杂度:O(10^n * sqrt(n))
is_prime():O(sqrt(n))
generate_primes():O(10^n * sqrt(n))，其中变量"n"表示输入数字中存在的数字总数。这是因为，对于数字中的每个数字，我们有 10 个可能的选择(0-9)，并且我们重复此过程 n 次。因此，我们生成的可能组合总数为 10^n。然后，我们使用 is_prime 函数检查数字的素数，这需要 O(sqrt(num)) 的时间。
空间复杂度:O(10^n + p)
由于递归调用，generate_primes() 函数占用的辅助内存为 O(10^n)。unordered_set 对象 primes 也增加了空间复杂度，即 O(p)，其中 p 是生成的素数的数量。
结论
本文探讨了一种递归方法，用于计算可以使用表示为字符串的给定数字中的数字生成的素数总数。我们讨论了问题的概念、解决方法、算法、C++ 程序以及时间和空间复杂度。
