NumPy - 行列式计算
什么是矩阵行列式?
矩阵行列式是一个可以通过方阵计算得出的特殊数。它提供了矩阵的重要信息，例如矩阵是否可逆。
矩阵的行列式是一个数字，而不是一个矩阵，它可以用来解线性方程组、求特征值等等。
例如，2x2 矩阵 A 的行列式计算如下:-
A = [[a, b], [c, d]] Det(A) = ad - bc
对于较大的矩阵，行列式会使用一种称为 余因子展开 的过程递归计算。
NumPy 中的行列式计算
NumPy 提供了 numpy.linalg.det() 函数来计算矩阵的行列式。让我们通过一个 2x2 矩阵的示例来了解此函数的工作原理。
示例
在以下示例中，使用 numpy.linalg.det() 函数计算矩阵 A 的行列式 -
import numpy as np # 定义一个 2x2 矩阵 A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 计算矩阵的行列式 det_A = np.linalg.det(A) print(det_A)
以下是得到的输出 -
-2.00000000000000004
3x3 矩阵的行列式
3x3 矩阵的行列式使用更复杂的公式计算，涉及子式和余因式。以下是使用 NumPy 计算 3x3 矩阵行列式的示例 -
import numpy as np
# 定义一个 3x3 矩阵
B = np.array([[6, 1, 1],
[4, -2, 5],
[2, 8, 7]])
# 计算矩阵的行列式
det_B = np.linalg.det(B)
print(det_B)
这将产生以下结果 −
-306.0
行列式的性质
行列式有几个重要的性质。具体如下 −
- 乘法性质:两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积:det(AB) = det(A)。 det(B)。
- 转置性质:矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式:det(A) = det(AT)。
- 逆性质:矩阵逆的行列式是行列式的倒数:det(A-1) = 1 / det(A)。
- 行运算:交换矩阵的两行会将其行列式乘以 -1;将一行缩放一个常数会将行列式乘以该常数;将一行的倍数添加到另一行不会改变行列式。
非零行列式的条件
对于矩阵要具有非零行列式，必须满足以下条件:
- 方阵:矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 满秩:矩阵必须满秩，即其所有行(或列)都是线性独立的。
在线性方程中使用行列式
行列式用于利用克莱姆规则求解线性方程组。假设我们有一个方程组，表示为 AX = B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知数向量，B 是常数向量，那么当 det(A) 为 0 − 时，我们可以求解 X。
import numpy as np # 系数矩阵 A = np.array([[2, 1], [5, 7]]) # 常数向量 B = np.array([11, 13]) # 使用克莱姆规则求解 X det_A = np.linalg.det(A) A1 = np.array([[11, 1], [13, 7]]) A2 = np.array([[2, 11], [5, 13]]) X1 = np.linalg.det(A1) / det_A X2 = np.linalg.det(A2) / det_A X = np.array([X1, X2]) print(X)
以下是上述代码的输出 -
[ 7.11111111 -3.22222222]
行列式的实际应用
行列式有许多实际应用，例如 -
- 解线性方程组: 行列式在克莱姆规则中用于解线性方程组方程。
- 查找特征值:行列式用于查找矩阵的特征值。
- 面积和体积计算:行列式可用于计算高维平行四边形的面积和平行六面体的体积。
- 积分中的变量变换:在多变量微积分中，雅可比矩阵的行列式用于积分的变量变换公式。
处理不可逆矩阵
如果一个矩阵的行列式为零，则称其为奇异矩阵，并且没有逆矩阵。尝试计算奇异矩阵的逆矩阵将导致错误。以下是使用 NumPy 处理此类情况的方法 -
import numpy as np
def calculate_determinant(matrix):
try:
return np.linalg.det(matrix)
except np.linalg.LinAlgError:
return "Matrix is singular and has no determinant."
# 奇异矩阵
C = np.array([[1, 2], [2, 4]])
# 尝试计算行列式
result = calculate_determinant(C)
print(result)
以下是得到的输出 −
0.0
